在建筑与工程领域，结构分析是保障建筑安全、优化设计的关键环节。有限元法（FEM）作为结构分析的重要手段，自诞生以来已走过 80 年历程，为解决复杂工程问题立下汗马功劳。然而，它并非十全十美。传统 FEM 在面对材料属性、几何形状或外部荷载变化时，需重新计算，耗时耗力，且难以揭示关键参数间的内在联系。矩阵结构分析（MatSA）虽简化了部分流程，但同样依赖预设条件，适应性欠佳。这些问题限制了结构分析的效率与深度，也促使研究人员探寻更优解。

1. 刚度矩阵的推导：研究推导出 2D 桁架单元的符号刚度矩阵及全局刚度矩阵。在局部坐标系下，2D 桁架单元的符号刚度矩阵为[k^t2?]=LEA??[1?1??11?]，通过变换矩阵[Tt2?]=[c0?s0?0c?0s?]（其中c=cos(θ)=LΔx?，s=sin(θ)=LΔy?），可得到全局刚度矩阵[kt2?]=[Tt2?]T?[k^t2?]?[Tt2?]=LEA???c2cs?c2?cs?css2?cs?s2??c2?csc2cs??cs?s2css2??。这为后续分析奠定了基础。
2. 模型的符号定义：针对 2D 桁架复杂的几何结构，研究引入一组变量描述其构型。NodeCoords 矩阵定义节点坐标，ElemMatSec 向量表示单元刚度属性，ElemCon 矩阵指定单元连接关系，Supports 矩阵设置边界条件，PointLoads 矩阵定义节点荷载。这种方式可自动计算几何属性，适用于各种复杂桁架结构，且支持符号参数输入，便于开展参数化研究、灵敏度分析和设计优化。
3. 符号解的重要性及教育意义：符号解能保留参数间的代数关系，助力研究人员探究材料属性、几何形状或荷载变化对结构响应的影响。以 2D 桁架单元为例，位移公式Dx?=AEPL?清晰展示了位移与各参数的比例关系，这是纯数值解无法呈现的。同时，符号解有助于理解叠加原理和不同荷载的累积效应，还能通过直接求偏导数进行灵敏度分析和优化，提升学生对结构工程概念的理解，为结构设计提供有力支持。
4. 数值示例：研究给出五个不同复杂程度的数值示例。示例 1 为简单 2 杆桁架，有 3 个符号参数；示例 2 有 3 个节点、3 个元素和 4 个符号参数；示例 3 有 5 个节点、7 个元素和 4 个符号参数；示例 4 模型较大，含 12 个节点、21 个元素和 4 个符号参数；示例 5 取自文献，有 11 个节点、18 个元素和 4 个符号参数 。通过这些示例，展示了程序在不同情况下推导解析解的能力，包括节点位移、支撑反力和单元轴力等结果。
5. 结果验证：为确保程序准确性，研究采用三种方式验证。与 SAP2000 对比时，调整其剪切面积框架属性 modifier 以匹配 Euler - Bernoulli 梁理论假设，结果显示两者在节点位移、支撑反力和单元轴力上完美匹配；与 EngiLab Truss.2D Pro 对比，同样得到高度一致的结果；与文献中的解析解对比，如示例 5 中节点 6 的垂直位移公式，两者也完全吻合。这充分证明了程序结果的可靠性。
6. 灵敏度分析：符号解在灵敏度分析中优势显著。以示例 3 中节点 2 的垂直位移公式Dy?=?4EAH2P(2HL2+2(4H2+L2)3/2?+L3)?为例，利用 MATLAB 的符号计算功能，可轻松计算出位移对轴向刚度（EA）、长度（L）和高度（H）的偏导数，清晰呈现结构响应随参数变化的敏感度。这种能力为设计优化提供了精确依据，避免了数值方法多次重新计算的繁琐过程。
7. 平衡复杂性与实用性：符号计算在处理复杂 2D 桁架系统时面临挑战，如计算时间长和表达式复杂。随着桁架结构复杂度增加，计算时间显著上升，且复杂的符号表达式会降低实用性。为此，研究提出混合符号 - 数值方法，让关键参数保持符号形式，对次要变量赋值，在保证分析灵活性的同时提高计算效率，使符号 MatSA 能更好地处理复杂系统。

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